第四讲 勾股定理的运用2012-3-10

竞赛勾股定理

第四讲 勾股定理的运用 2012-3-10

【知识要点】

1．勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．

表达形式：在Rt ABC中， C 90 , A, B, C的对边分别为a,b,c， b

则有：①c2 a2 b2；②a2 c2 b2；③b2 c2 a2．

2．勾股定理的逆定理（直角三角形的判别条件） 如果三角形的三边长为a,b,c，满足a2 b2 c2，那么，这个三角形是直角三角形． 3．勾股数：

222

（1）满足a b c的三个正整数，称为勾股数．

（2）勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数． （3）常见的勾股数有：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41．

【经典例题】

例1、如图，已知△ABC中，AD、AE分别是BC边上的高和中线，AB=9cm，AC=7cm，BC=8cm，

求DE的长。

E

A

例2、如图,在Rt ABC中,∠ABC=90°,四边形ACDE是正方形,BC=6，AB=8，求BE的长．

E

A

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例3、

已知直角三角形的周长为2 1，求这个三角形的面积。

例4、如图折叠长方形的一边BC，使点B落在AD边的F处，已知：AB=3，BC=5，

求折痕EC的长．

E B

C

D

例5．如图，P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数．

D

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例6．如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA垂直AB于A，CB垂直AB于

B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？

例7、如图，A、B是笔直公路l同侧的两个村庄，且两个村庄到公路的距离分别为300m和500m，

两村庄之间距离为m，现要在公路上建一汽车停靠点，使两村到停靠点的距离之和最小。问最小值是多少？

A

B

D

C

l

思考：如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，B点离C点5cm，一只蚂蚁如果要沿着

长方体表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离是多少？

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【随堂练习】

1、在一个长6m，宽3m，高2m的房间里放进一根竹竿，这根竹竿最长为多少？

2、如图，在一个高BC为6米，长AC为10米，宽为2.5米的楼梯表面铺设地毯，若每平方米地毯50元，共需多少元？

B

A

3、如图，一个圆柱体高20cm，底面半径为6cm。在圆柱体下底面的A点处有一只蜘蛛，想吃到与A点相对的上底面B点处的苍蝇，这只蜘蛛从点A出发沿着圆柱形的曲面爬到B点，最短线路是多长？（结果保留 ）

4、如图，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该长方形折叠，使C点与A点重合，

则折痕EF的长为多少？

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5、印度数学家什迦罗（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：

平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；

请用学过的数学知识回答这个问题。

6、如图，某人在B处通过平面镜看见在B正上方3米处的A物体，已知物体A到平面镜的距离为2米，问B点到物体A的像A′的距离是多少？

B

课后作业

1．已知等腰△ABC，底边BC=20，D为AB上一点，且CD=16，BD=12，求△ABC的周长。

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2．已知△ABC中∠A=30°，AC=4，BC=

5

，求AB的长。 2

3．求图中阴影部分的面积S。

4 已知，如图△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC。

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