东南大学计算力学习题及答案汇总(2011版)

第三章

1如图所示一三角形钢板，两个结点固定，对第三个结点施以单位水平位移，测出所施加的力，从而得出相应的刚度系数。其他点依此类推，这样测得的刚度系数所组成的刚度矩阵，是否与按照常规三角形单元刚度矩阵计算公式所得结果一样？用这样实测所得的刚度矩阵能否进行有限元分析？为什么？

解：不一样。单元刚度矩阵中每个元素的物理意义：kij表示单元第j个自由度产生单位位移，其它自由度固定时，第i个自由度产生的节点力。单元刚度矩阵是在单元处于平衡状态的前提下得出的，单元作为分离体看待，作用在它上面的外力（单元力）必是平衡力系，然而研究单元平衡时没有引入约束承受平衡力系作用的无约束单元，其变形是确定，但位移是不能确定的，即单元可发生任意的刚体位移。

不能。因为与有限元中单元与单元之间的约束情况不一样，不能进行有限元分析。 2以位移为基本未知量的有限元法其解具有下限性质，试证明之。 解：系统总位能的离散形式?p?1TT?a?K?a???a??P? 2将求解的方程?K??a???P?带入可得

?p?11TTTaKa?aKa???????????????a??K??a???U 22在平衡情况下，系统总位能等于负的应变能。在有限元解中，由于假定的近似位移模式一般来说总与精确解有差别

的。

设近似解为?p、U、[K]、?a?、??K???a???P?，真实解为?p、U、[K]、?a?、?K??a???P? 且根据最小势能原理，得到的系统的总位能总会比真正的总位能要大，故?p??p则U?U

?a?T??K???a???a??K??a???a?TT?P???a??P?

T则近似解的位移总体上小于精确解的位移

解释如下：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度，在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以结点位移表示的有限自由度，引入了更多的约束和限制，使得单元刚度较实际连续体加强了，连续体的整体刚度随之增加，所以有限元解整体上较真实解偏小。

3 请分别阐述单元刚度矩阵和整体刚度矩阵中任一元素的物理意义。

e解：在单刚?K?中，kij表示单元第j个位移产生一单位位移，其它位移为零时，第i个位移方向上引起的节点力。

e在整体刚度中，Kij表示第j个自由度产生一单位位移，其它自由度为零时，第i个自由度上引起的节点力。

1

4 简述虚功原理，且使用虚功原理导出外荷载与节点荷载的等效关系式。

解:虚功原理：变形体中任意满足平衡的力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功等于零，即体系外力的虚

功与内力的虚功之和等于零。

设?q?为外荷载（此处为体力），?p?为节点荷载，?w?为单元内位移场，???为结点位移场 根据虚功原理

eeee??????p?????w???q?dV

eTeeTeVe由于?w??[N]???故

eVeT???w???q?eTedV?????Ve??eT[N]?q?dV????Tee??eTVT?[N]?q?dV

e则

??????p???????eeTVTT[N]qdV?p?[N]???????q?dV

Ve5 试述弹性力学中按位移求解与有限单元法中按位移求解之间的异同点。 解： 物理模型 基本方程 弹性力学 连续体 几何方程 物理方程 平衡微分方程 解法 解答形式 解答精度 解微分方程 用函数表示 精确解 有限单元法 离散化结构 几何方程 物理方程 结点平衡方程 解代数方程 用数值表示 近似解 6 如果三节点三角形单元绕其中某一个节点作小的刚体转动，其转角为?，证明单元内所有的应力均为零。 解：在三角形单元中?????D??B????

?bi1?B?0???2A?ci?0cibibj0cj0cjbjbm0cm?yj?ym0??1?cm??0?2A??xj?xmbm???0?xj?xmyj?ymym?yi0?xm?xi0?xm?xiym?yiyi?yj0?xi?xj???xi?xj? yi?yj??0?u?u0??y由于三角形单元绕其中某一个节点作小的刚体转动，各节点的位移可表示为：?

v?v??x0?则可知节点位移向量????0,0,??yj,?xj,??ym,?xmT??

T 2

?yi?ym1?0故应变?????B?????2A???xj?xm?0?xj?xmyi?ymym?yi0?xm?xi0?xm?xiym?yiyi?yj0?xi?xj?0??0??0???0?????y1????j??xi?xj?????0? ?x2Aj???0?yi?yj???????y?m???x??m??由于弹性矩阵?D?为常量矩阵，应变向量???为零向量，故?????D????为零向量，即单元内所有的应力为零。 7 二维单元在x,y坐标内平面平移到不同位置，单元刚度矩阵相同吗？在平面内旋转时又怎样？试证明之。

解：二维单元在x,y坐标内平面移到不同位置时，刚度矩阵相同。在平面内旋转时，刚度矩阵也相同。

?1????brcs?kEhA?brbs?1??crcs刚度矩阵T22c?rbs?rs???Br??D??Bs?hA?4(1??2)?????c1??rbs?2brcsc1???

rcs?brbs?2??单元平移或旋转时，bi,ci不变，故单元刚度矩阵不变。

8 判断有限元网格离散合理性

a) 对图1(a)所示的有限元网格，评论网格的优劣性，指出模型中的错误，并加以改正。 b) 评论图1(b)的网格划分合理吗?为什么?请加以改正。

图1 解：（a）网格划分不合理。 1）无过渡单元 2）无边界条件

3）夹角区应力集中，应适当加密风格 4）对称结构网格应对称划分 （b）不合理。

1）左部网格应适当加密

2）由于三角形单元会造成局部精度不够，过渡区可采用其它单元划分 3）右部单元的长宽比较大，就进行适当调整。

9 如图2所示，平面三角形构件以x-y坐标系表示的刚度矩阵方程如下：

?10?2.51.832.5??u?x1??Px1?104?1.832.55.0?2.5?????v??y1???P?y1???2.54.52.5?2.5? ?2.5?2.5?2.52.5??ux2??Px2?????v???y2????Py2??

3

试建立以ux1,uy1,ux2(与图中Px2同向的位移)及Px1,Py1,Px2' 来表示的刚度矩阵方程。

,,?ux1??ux1??ux1??v??????y1??vy1??vy1?'解：用坐标变换?????T????则????'???T??'?

u?x2??ux2cos???ux2?''??????vusin?uy2x2x??2?????1?0其中?T????0??000100cos?0sin?0?0?? ， 0??0?由?K???'???P???K??T??????P?

?1?10?2.51.832.5??0?1.832.55.0?2.5????0?K??T?????2.54.52.5?2.5??????2.5?2.5?2.52.5??0???10?2.52.964??ux1??Px1???v???P?

104?1.832.52.5???y1??y1??u'??P'????20?x2??0?x2?01000045350??10?2.52.9640?0???2.50????1.832.5?

0???2.54.50.50????2.5?2.5?0.50??0???

10 某平面结构采用四节点矩形单元和三节点三角形单元建立有限元计算模型，其如图3所示。试求结点2的等效荷载列阵

?R2?。

2号节点有关 荷载作用于1?2边上，故等效节点力只与1、解：单元①，

形函数N1???,N2??(1??)，在??1边上，

?N1?N?1,2??1 ?????N?N?N?N?x?y?x?y?l1?02?l,?m1?m2?0则ds?()2?()2d??ld? ????????????????线性分布面力?q????0?? ?q??12??d??0则P1y?N1qyds?qll?ql 3 4

单元③，

?0?ss??形函数N1?1?,N2?,N3?0 在1-2边上，?qs???s?

llq???l?sl0?000??s00??l?T?s0?1?lT?FS???[N]?qS?ds???sll?01??l??ql?10?02?323?00??T?0??s?ds?q??l?

?0???R2??ql??2??故节点2的等效荷载列阵?3??

11 试求如图4所示的有限元网格的整体刚度矩阵，假设每个节点的自由度数为1，且设K表示第e个单元的单元

e刚度矩阵（注意：结果应该用kij表示）。

e

图5

(1)?k11?(1)k??21(1)?k41?(1)??k51(3)?k55?(3)??k75(3)?k85?

(1)k12(1)k22(1)k42(1)k52(3)k57(3)k77(3)k87(1)k14(1)k24(1)k44(1)k54解：单元刚度矩阵?K?(1)(1)(2)??k22k15?(2)(1)?k25(2)?，?K???k32(1)?(2)?k52k45?(2)(1)?k55????k62(4)k56(4)k66(4)k86(2)k23(2)k33(2)k63(2)k53(2)k26(2)k36(2)k66(2)k56(2)?k25(2)?k35? (2)?k65(2)?k55???K?(3)(3)(4)??k55k58(4)?(4)(3)?k78K?，????k65(3)?(4)?k85k88??(4)?k58(4)?k68? (4)?k88? 5

(1)?k11?(1)?k21?0?(1)k整体刚度矩阵：?K???41?k(1)?51?0?0???0(1)k12(1)(2)k22?k22(2)k32(1)k42(1)(2)k52?k52(2)k620(2)k23(2)k33(1)k14(1)k24(1)k15(1)(2)k25?k25(2)k35(1)k45(1)(2)(3)(4)k55?k55?k55?k55(2)(4)k65?k65(3)k75(3)(4)k85?k850(2)k26(2)k360000(3)k570(1)k44(1)k540(2)k53(2)k630(2)(4)k56?k56(2)(4)k66?k660000(3)k77(3)k8700000(4)k86??0??0?0? (3)(4)?k58?k58?(4)k68?(3)?k78?(3)(4)k88?k88??0

①①

12 图5中两个三角形单元组成平行四边形，已知单元①按局部编码i,j,m的单元刚度矩阵K和应力矩阵S是

K(1)?6?26??80?6??16?6?126?4??030??00－3?13.59?7.5?3?(1)??0－30－1? ???S??0413.5?3?1.5??对?20?1.5-1.5-0.51.5????9.5?3?????称5.5??

②②

按图5示单元②的局部编码写出K，S。 解：由图可知m(1)?i(2),i(1)?j(2),j(1)?m(2)

?9.5?3?2?6?7.5?3???5.564?3?1.5???80?6?6????

对16?6?12???13.59????称13.5????Kii?则由???KijKjjKim??Kjj?Kjm????Kmm????KjmKmmKij?(2)Kmi?得到K?Kii??S(2)000-30??3????0-1040-3? ?-0.51.520-1.5-1.5???ya13如图6所示8结点矩形单元(每边中点为结点), 3点为坐标原点，a=b=2，单元厚为t。

①求该单元的位移函数和形函数和并检验其是否满足收敛性条件。 ②求在2-6-3边作用均布水平荷载q时的等效结点荷载。 解：(1)位移函数：

251?u??1??2x??3y??4x2??5xy??6y2??7x2y??8xy2 ?2222v????x??y??x??xy??y??xy??xy910111213141516?引入无量纲的局部坐标??

374bq68xxy,?? ab6

x1?x3y?y,y2?13 2211故?1?0,?2?,?3?1,?1?0,?2?,?3?1

221111l1?2(??)(??1),l2??4?(??1),l3?2?(??),p1?2(??)(??1),p2??4?(??1),p3?2?(??)

2222则n?3,x2?则n?2时，?1?0,?2?1,?1?0,?2?1

l1?1??,l2??,p1?1??,p2??

则角节点的形函数为

1111N1?4??(??)(??),N2?4?(??)(??)(??1)

22221111N3?4(??)(??1)(??)(??1),N4?4?(??)(??)(??1)

2222边中节点的形函数为

N5??4??(??1),N6??4?(??1)(1??),N7??4?(??1)(1??),N8??4??(??1)

证明收敛性：

位移函数中

?u??1??2x??3y??4x2??5xy??6y2??7x2y??8xy2 ?2222?v??9??10x??11y??12x??13xy??14y??15xy??16xy?1,?9表示刚体位移，?2,?3和?9,?10表示常应变，故位移函数具有完备性

设相邻单元公共边界上的直线方程是y?b（或x?a），代入位移函数中

?u??1??3b??6b2?(?2??5b??8b2)x?(?4??7b)x2 ?222?v??9??11b??14b?(?10??13b)??16bx?(?12??15b)x为x（或y）的2次函数，而边界上三点确定的位移函数为也为二次曲线，故单元在公共边界连续，

故位移函数收敛

6，3号节点有关 (2)荷载作用在2?3边上，故等效节点力只与2，1111N2?4?(??)(??)(??1)，N6??4?(??1)(1??)，N3?4(??)(??1)(??)(??1)

2222在??0边上计算

?Ni ???N?N?N2?4??1,6?4(1?2?),3?4??3 ???????Nb?N6?N?x?y?x?y?0,?03??b2?2 ds?()2?()2d??2d? ??????2????????1P3x?t?N3qxds?2qt?N3d??s0qt 37

4P6x?t?N6qxds?2qt?N6d??qt

3s011P2x?t?N2qxds?2qt?N2d??s0qt 3第四章

1经典梁理论和Timoshenko梁理论有哪些相同点和哪些不同点?基于以上两种理论的梁单元各有何特性？ 解：

相同点 经典梁理论 Kirchhoff假设 Timoshenko梁理论 C1型单元 不同点 弯曲梁单元 截面转动?是挠度w的一阶导数，只有挠度w是独立的 采用Hermite插值 特性

2 写出杆件的应变能计算公式，并给出推导过程。

解：将只考虑轴向变形的杆件划分成n个单元，节点坐标为x0,x1,?,xi,xi?1,?,xn 单元的位移函数u(x)??1??2x （xi?1?x?xi）

用形函数近似位移函数得u(x)?Nie?1(x)ui?1?Nieui，其中Ni?1(x)?eC0型单元 考虑剪切变形影响 挠度w和截面转动?各自独立插值 采用拉格朗日插值 梁很薄时，会造成剪切锁死现象 梁的高度远小于跨度 x?xix?xi?1 ,Nie(x)?xi?1?xixi?xi?1单元的应变??du1?[?11]?uie??[B]?uie? dxxi?xi?1e单元的应力??E??E[B]ui

??1单元应变能U?2xi?1xi?1?xi1eTi?1T1eTTe??Adx??ui?(?[B]EA[B]dx)?ui???ui??Kie?uie? ???22xiEAxi?1?xi?1?1???11? ??x其中??K???eiT[B]?EA[B]dx?xi3在杆系系统中,除了采用凝聚自由度的方法实现铰接端条件， 还有什么方法可以实现以上条件，并比较这几种方

法的优缺点。 解：

凝聚自由度法

优点 8

缺点 多点约束方程 过渡单元法 4利用最小势能原理，推导图1所示弹性基础上梁单元方程，其中该梁的势能为：

?p??L02LkfvL12EI(v\dx??dx??wvdx

0022w(x) L x k f 图1

解：根据最小势能原理可知??p?0

lll故有??p?(EIv'')?v''dx?kfv?vdx?w?vdx?0

000lll???对第一项分部积分(EIv'')?v''dx?(EIv'')?v'0?(EIv'')'?v'?(EIv'')?v'0?(EIv'')'?v0?(EIv'')''?v 000l?l?ll?则[(EIv'')''?kfv?w]?vdx?(EIv'')?v'0?(EIv'')'?v0?0 0?ll引入强制边界条件和自然边界条件使(EIv'')?v'0?(EIv'')'?v0?0 由于?v的任意性故控制微分方程为(EIv'')''?kfv?w?0

此梁的位移函数v(x)?N1(x)v1?N2(x)?1?N3(x)v3?N4(x)?4?[N]?d?，则?v??[N]??d?

heeeell由于物理关系可知v''(x)??B??d?则??v''??[B]??d?

lll由(EIv'')?v''dx?kfv?vdx?w?vdx?0得

000xi?1xi?1xi?1???e???d??(?[B]EI[B]dx)?d?????d??(?[N]k[N]dx)?d?????d??(?[N]wdx)eTTeTTeeTTfxixixixi?1xi?1(?[B]TEI[B]dx?xiT?[N]kf[N]dx)?d??xiexi?1

?[N]xiTwdx则梁单元刚度方程为?k?

e?d?e??F?

9

e其中?k??EIexi?1?[B][B]dx?k?[N][N]dx ?F?TTfxixixi?1exi?1??[N]xiTwdx

5 图2所示刚架

1) 如何进行节点编号使整体刚度矩阵[K]的带宽最小？

2) 刚架的整体刚度矩阵中a节点的总刚度矩阵Kaa和的总刚度矩阵Kbc各由哪些单元的哪些分块矩阵叠加组成

（自行确定单元局部坐标方向）

3) 试按照二维等带宽存储和一维变带宽存储方式确定Kaa中对角元素的在相应存储数组中的位置。

图2 有铰点的刚架

解：1）考虑每个节点有两个自由度

由于半带宽d=（相邻结点码的最大差值+1）*2

故节点编号如图所示可使单元内节点编码相差3，使得带宽d=8

(2)(3)(4)(5)(6)2）Kaa?K22 Kbc?K12 ?K22?K11?K113）考虑单元①节点1自由度的凝聚

可知Kaa中对角线元素在原整体刚度矩阵中第6行第7列和第7行第8列 则用二维等带宽存储后在矩阵中的第6行第2列和第7行第2列

用一维变带宽存储后在Kaa中对角线元素在数组中的位置为9和10

10

式方次的要求，而不包括更高次的非完全多项式的要求，在一定情况下改善了单元的精度。

（2）在最小位能原理基础上建立的位移有限元，位移解具有下限性质。有限元的计算模型具有较实际结构偏大的整体刚度。选取减缩积分方案使有限元计算模型的刚度有所降低，有助于提高计算精度。 （3）采用减缩积分可能使系统刚度矩阵K奇异，出现有别于刚体运动的位移零能模式。

5 如需要对二维三次Serendipity单元进行精确积分，试讨论所需的Gauss积分的阶次（假定J为常数）。 解：插值函数N中的多项式阶数为4，微分算子L中的导数的阶次是1

被积函数是非完全次项的最高次为6次多项式，完全项的最高次为4次多项式

6?1?3.5故积分点数目为4?4 2若为减缩积分，需要高斯积分点n?4?1?1?3故积分点数目为3?3

若为精确积分，需要高斯积分点n?

6 求图1所示单元的节点等效荷载；

图1

解：N1?(1??)(1??),N4??(1??) 在??0上

?N1?N??1,4?1 ????则

?N?N?N?N?x?y?01?34?3,?01?44?4 ????????????ds?(?x2?y2)?()d??5d? ?????qx???ds ?qy?T0??e?q???? ?P????N?500(1??)??s12P1y??N1qyds?2500?(1??)d??s02500 32500 61P4y??N4qyds?2500??(1??)d??s0

7如图2所示12节点正方形单元，求其Jacobi行列式J;

16

图2

解：求形函数：

（1） 构造角节点形函数：

??1(2??)(2??),N??1?(2??),N??1??,N??1?(2??) N12344444（2） 构造边节点的形函数：

N5??(??b)(??2)(2??)2a(a?b)(a?2),N6??(??a)(??2)(2??)2b(b?a)(b?2)，N11?，N9???(??b)(??2)2a(a?b)(a?2),N10???(??a)(??2)2b(b?a)(b?2)

N7???(??b)(??2)2a(a?b)(a?2),N8???(??a)(??2)2b(b?a)(b?2)?(??b)(??2)(2??)2a(a?b)(a?2),N12??(??a)(??2)(2??)2b(b?a)(b?2)

（3） 修正角节点形函数：

??1(2?a)2(N?N)?1(2?b)2(N?N)N1?N151061144

1?(??b)(??2)(2??)??(??a)(??2)?(1??)(1??)?(2?a)2[?]42a(a?b)(a?2)2b(b?a)(b?2)8试构造如图3所示的6结点斜三棱柱体等参单元的插值函数，并证明其合理性。

图3

解：对图中6结点斜三棱柱体进行等参变换

N1?L11??11??11L1(??1),N2?L2?L2(??1),N3?L3?L3(??1)

1?121?121?12??11??11??11N4?L1?L1(1??),N2?L2?L2(1??),N3?L3?L3(1??)

?1?12?1?12?1?12???1

9空间八结点等参数单元各边与坐标轴x,y,z平行，在y方向作用有线性变化体力，若用高斯积分法分析结点荷载

17

?R?e???1??1??1?N?T?p??J?d?d?d?的精确值，试求所需要的最少积分点数。

解：空间八结点等参单元中形函数的阶次为1，且y方向作用有阶次为1的线性变化体力，由于单元各边与坐标轴x,y,z平行，故J为常数，故被积函数的阶次为2

精确积分所需要高斯积分点n?111P?12?1??1.5，积分点数为2?2?2 22第七章

1 采用矩形薄板单元计算薄壳问题时，其单刚方程有何特点？

解：采用矩形薄板单元计算薄壳时，为了简单计算，平板的面内变形与弯曲变形可认为是互不影响的，即板内变形和受力可看成是平面应力和平板弯曲两状态的迭加，结点未知数为u,v,w,?x,?y,?z 单刚方程?F???k????中???e??p??Fp?e??b?，?F???b? ????F?eeee?W??w?ee?M????uU????????x?xpbpb其中??????,??????，?F????,?F????

M?vV?????y???y?????z???M?z??特点：（1）基于（克希霍夫假设）中面无伸缩假设，可知u,v与w,?x,?y,?z无关。

（2）由于平行于中面的各层相互不挤压，不拉伸，沿z方向不会引起翘曲，故U,V与W,M?x,M?y,M?z无关 （3）?z对结点力不起作用，但为了计算不共面的相邻单元的弯扭应力，必须考虑。 （4）?z和M?z对应的刚度系数设定为零。 2设薄板矩形单元，节点的位移未知数为：??i????wi若位移模式取

?xi?yi?xyi??

w(x,y)??1??2x??3y??4x2??5xy??6y2??7x3??8xy2??9x2y??10y3??11x3y??12xy3??13x2y2??14xy??15xy??16xy解：位移函数：

233233

试判断该位移模式是否收敛？

w(x,y)??1??2x??3y??4x2??5xy??6y2??7x3??8xy2??9x2y??10y3??11x3y??12xy3??13x2y2??14xy??15xy??16xy233233

?x??w??3??5x?2?6y?2?8xy??9x2?3?10y2??11x3?3?12xy2?2?13x2y?3?14x2y2?2?15x3y?3?16x3y2?y?w??(?2?2?4x??5y?3?7x2??8y2?2?9xy?3?11x2y??12y3?2?13xy2?2?14xy3?3?15x2y2?3?16x2y3)?x?y?? 18

?2w?xy???5?2?8y?2?9x?3?11x2?3?12y2?4?13xy?6?14xy2?6?15x2y?9?16x2y2

?x?y完备性：挠度位移曲线中?1??2x??3y代表薄板的刚体位移，其中?1代表薄板在z方向的移动，?2和?3分别代表薄板单元绕y轴和x轴的刚体转动。

?4x2??5xy??6y2代表薄板弯曲的常应变（常曲率和常扭率）

??2w?2w?2w?T??2?,?2?,?2? ??????2,?2,?2???465?x?y?x?y??则挠度位移曲线w(x,y)满足完备性要求

连续性：当x=常数(或y=常数)的边界上，挠度位移曲线w(x,y)是三次变化的曲线，可由两端节点的挠度值和转角值可唯一确定，故在单元交界面上w(x,y)是连续的。?x和?y也分别是x和y的三次曲线，由两端节点的转角和扭率可唯一确定，则?xy也可唯一确定，故转角位移函数连续。 所以，该位移模式收敛。

3 论证矩形4节点12自由度薄板单元是完备的非协调单元。

解：由于薄板弯曲变形时，可由中面的挠度w(x,y)表示，故4节点12自由度薄板单元的位移函数

Tw(x,y)??1??2x??3y??4x2??5xy??6y2??7x3??8x2y??9xy2??10y3??11x3y??12xy3

?x??w??3??5x?2?6y??8x2?2?9xy?3?10y2??11x3?3?12xy2 ?y?w??(?2?2?4x??5y?3?7x2?2?8xy??9y2?3?11x2y??12y3) ?x?y??完备性：挠度位移曲线中?1??2x??3y代表薄板的刚体位移，其中?1代表薄板在z方向的移动，?2和?3分别代表薄板单元绕y轴和x轴的刚体转动。

?4x2??5xy??6y2代表薄板弯曲的常应变（常曲率和常扭率）

??2w?2w?2w?T??2?,?2?,?2? ??????2,?2,?2???465?x?y?x?y??则挠度位移曲线w(x,y)满足完备性要求

连续性：当x=常数或y=常数的边界上，挠度位移曲线w(x,y)是三次变化的曲线，可由两端节点的挠度值和转角值唯一确定，故在单元交界面上w(x,y)是连续的。?x和?y分别是x和y的三次曲线，但是由两端节点的转角不能唯一确定，故转角位移函数不连续。 所以，薄板矩形单元是非协调单元。

19

T??164. 四边固定的正方形薄板，边长为4m，板厚为0.1m，弹性模量E为常量，。在板中心还联结有4根弹性

杆件支承，杆长均为4m，所有杆与地面的夹角都为45,弹性模量也为E，截面积为0.04m。图4(1)为结构示意图，其中A-A,B-B 剖面见图4(2)，当板上受均匀分布荷载q0作用时，试求单元○1中点1的挠度（见图4(1)）

o

2

图4(1) 图4 (2) A-A 、B-B剖面

解：分析单元①，a?b?（1） 等效节点荷载:

l?1 4111??R??4q0??12?412e11141212111?41212T111???? 41212?T（2） 引入边界条件后

???e??w100000000000?

（3） 考虑弹性支承杆的刚度

4?EA0.04E2cos45??4???0.00707E 4l4?42（4） 在单刚方程中引入边界条件，并叠加弹性支承杆的刚度

Et3EA[(81?6?)?4?cos45?]w1?q0 360(1??2)4l代入数据得w1?137.013

q0 E 20

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