高中数学 推理与证明章节测试题及答案

推理与证明章节测试题

1.考察下列一组不等式： 23 53 22 5 2 52, 24 54 23 5 2 53,

25 55 23 52 22 53, .将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等

式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是 . 2．已知数列 an 满足a1 2，an 1 的值为 ．

1 an*

n N），则a3的值为 a1 a2 a3 a2007

1 an

2f(x)

（x N*），猜想f(x）的表达式为（ ） ,f(1) 1

f(x) 24212

A.f(x) x； B.f(x) ； C.f(x) ； D.f(x) .

2 2x 1x 12x 1

4. 某纺织厂的一个车间有技术工人m名（m N），编号分别为1、2、3、 、m，有n台（n N）织布机，编号分别为1、2、3、 、n，定义记号aij：若第i名工人操作了第j号织布机，规定aij 1，

3. 已知f(x 1)

否则aij 0，则等式a41 a42 a43 a4n 3的实际意义是（ ） A、第4名工人操作了3台织布机； B、第4名工人操作了n台织布机； C、第3名工人操作了4台织布机； D、第3名工人操作了n台织布机. 5. 已知f(n) 1

35111

(n N*)，计算得f(2) ，f(4) 2，f(8) ，f(16) 3，

2223n

7

，由此推测：当n 2时，有 2

6. 观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n 2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是Sn，按此规律推出：f(32)

当n 2时，Sn与n的关系式

n 2S 4 n 3S 8 n 4S 12

7.观察下式：1=1，2+3+4=3，3+4+5+6+7=5，4+5+6+7+8+9+10=7， ，则可得出一般结论： . 8.函数f(x)由下表定义：

2

2

2

2

若a0 5，an 1 f(an)，n 0,1,2, ，则a2007

9.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_______颗珠宝;则前n件首饰所用珠宝总数为_ 颗.(结果用n表示)

图1 图2

图3

10.

那么2003应该在第 行，第 列。

11．如右上图，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指，...，一直数到2008时，对应的指头是 (填指头的名称).

12.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4， 中，第25项为_____．

13．观察下列的图形中小正方形的个数，则第n个图中有 个小正方形. 14．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n

个图案中需用黑色瓷砖___________块．（用含n的代数式表示）

15.如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为

ai i 1,2,3,4 ，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为

4

a1a2a3a42S

类比以上hi i 1,2,3,4 ，若 k，则. ihi

123

4ki 1

性质,体积

为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si i 1,2,3,4 , 此三棱锥内任一点

Q到第i

4

S1S2S3S4

K, 则

iHi ( B ) 个面的距离记为Hi i 1,2,3,4 ,若1234i 1

A.

4V3V2VV B. C. D. 16.设O是KKKK

ABC内一点， ABC三边上的高分别为hA,hB,hC，O到三边的距离依次为la,lb,lc，则

lalblc

hAhhBC

_______，类比到空间，O是四面体ABCD内一点，四顶点到对面的距离分别为hA,hB,hC,hD，O到这四个面的距离依次为la,lb,lc,ld，则有_ __

111

由此类比：三棱锥S ABC ，

h2a2b2

中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC上的高为h，

17．在Rt ABC中，两直角边分别为a、设h为斜边上的高，则b，则 ．

18、若数列 an 是等差数列，对于bn

1

(a1 a2 an)，则数列 bn 也是等差数列。类比上述性质，n

若数列 cn 是各项都为正数的等比数列，对于dn 0，则dn dn 也是等比数列。 19．已知△ABC三边a，b，c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b＝m（m N*），则这样的三角形共有 个（用m表示）．

20．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2)行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第n行(n≥2)中第2个数是________（用n表示）.

122343

4774511141156162525166

21．在△ABC中，sinA

sinB sinC

，判断△ABC的形状并证明.

cosB cosC

22．已知a、b、c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.应假设

23. ABC中，已知3b 2asinB，且cosA cosC，求证： ABC为等边三角形。

24．如图，P 、Pn(xn,yn)(0 y1 y2 yn) 是曲线C：y2 3x(y 0)1(x1,y1)、P2(x2,y2)、上的n个点，点Ai(ai,0)（i 1,2,3 n）在x轴的正半轴上，且 Ai 1AiPi是正三角形（A0是坐标原点）． （1）写出a1、a2、a3；

（2）求出点An(an,0)（n N ）的横坐标an关于n的表达式并证明.

推理与证明章节测试题答案

1. an bn ambk akbm(a,b 0,m k n,m,n,k N*) 3． ,3 3. B. 4. A

12

2n 1

(n N*) 2

6. n2 (n 2)2

5.f(2)

n

7.n (n 1) (3n 2) (2n 1)2,n N* 8.4 9.

n(n 1)(4n 1)

n N*

6

10.251,3 12．食指

12.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4， 中，第25项为__7____．

n2 3n 213．

2

14． 4n 8

15、B提示:平面面积法类比到空间体积法

16． 1. 提示：平面面积法类比到空间体积法 17．．

1111 2 2 22habc

1

n

18

n N*提示：等差数列类比到等比数列，算术平均数bn (a1 a2 an)类比到几何平

均数dn n N* 19．

m(m 1)

2

n2 n 220．

2

21．解: sinA

sinB sinC

,A B C

cosB cosC

sinAcosB sinAcosC sin(A C) sin(B C) sinCcosA sinBcosA (sinC sinB)cosA 0 sinC sinB 0, cosA 0 A 所以三角形ABC是直角三角形

22． 三个方程中都没有两个相异实根

2

证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，

222

则Δ1=4b－4ac≤0，Δ2=4c－4ab≤0，Δ3=4a－4bc≤0.

222222

相加有a－2ab+b+b－2bc+c+c－2ac+a≤0，

222

（a－b）+（b－c）+（c－a）≤0. 由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立.

∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.

方法总结：反证法步骤—假设结论不成立→推出矛盾→假设不成立. 凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法. 23.解: 分析：由3b 23asinB 3sinB 23sinAsinB sinA 由cosA cosC A C A C

①

2

A ,

233

3

B

所以 ABC为等边三角形

2

24.如图，P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、 、Pn(xn,yn)(0 y1 y2 yn) 是曲线C：y 3x(y 0)

上的n个点，点Ai(ai,0)（i 1,2,3 n）在x轴的正半轴上，且 Ai 1AiPi是正三角形（A0是坐标原点）． （1）写出a1、a2、a3；

（2）求出点An(an,0)（n N ）的 横坐标an关于n的表达式并证明.

解:（Ⅰ）a1 2,a2 6,a3 12; .6分 （2）依题意，得xn

an 1 ana an 12

,yn 3 n，由此及yn 3 xn得 22

(

an an 123

) (an an 1)， 22

2

即(an an 1) 2(an 1 an)．

由（Ⅰ）可猜想：an n(n 1),(n N )． 下面用数学归纳法予以证明： （1）当n 1时，命题显然成立；

（2）假定当n k时命题成立，即有an k(k 1)，则当n k 1时，由归纳假设及

(ak 1 ak)2 2(ak ak 1)

得[ak 1 k(k 1)]2 2[k(k 1) ak 1]，即

(ak 1)2 2(k2 k 1)ak 1 [k(k 1)] [(k 1)(k 2)] 0，

解之得

ak 1 (k 1)(k 2)（ak 1 k(k 1) ak不合题意，舍去），

即当n k 1时，命题成立．

由（1）、（2）知：命题成立． .10分

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