随机信号分析(第3版)第六章 习题答案

随机信号分析(第3版) 习题答案

6.1复随机过程Z(t)=e

j(ω0t+Φ)，式中ω0为常数，Φ是在(0,2π)上均匀分布的随机变量。

求：（1）E[Z(t+τ)Z

(t)]和E[Z(t+τ)Z(t)]；（2）信号的功率谱。解：(1)

+∞

E[Z(t+τ)Z

(t)]=

∫

ej[ω0(t+τ)+Φ]e j[ω0t+Φ]1

∞

2π

dΦ2π

=∫ejω0τ

1

dΦ=ejω0τ02π

+∞

E[Z(t+τ)Z(t)]=

∫

ej[ω0(t+τ)+Φ]ej[ω0t+Φ]1d ∞

2π

Φ2π

=∫ej[ω0(2t+τ)+2Φ]

1

2πdΦ0

2π

=e

jω0(2t+τ)

∫ej2Φ10

2π

dΦ=0

(2)

SZ(ω)=F[RZ(τ)]=F{E[Z(t+τ)Z (t)]}

=F[ejω0τ]=2πδ(ω ω0)

6.26.3

6.4已知a(t)的频谱为实函数A(ω)，假定ω> ω时，A(ω)=0，且满足ω0比较：（1）a(t)cosω0t和(12)a(t)exp(jω0t)的傅立叶变换。（2）a(t)sinω0t和( j2)a(t)exp(jω0t)的傅立叶变换。（3）

a(t)cosω0t和a(t)sinω0t的傅立叶变换。

解：

由傅立叶变换的定义可以得到：（1）

a(t)cosωFT

0t← →π[A(ω ω0)+A(ω+ω0)]12

a(t)ejω0t← →FTπA(ω ω0)1

a(t)ejω0t2

的傅立叶变换是a(t)cosω0t的傅立叶变换的正频率部分。 ω，试

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（2）

πFT

a(t)sinω0t← →[A(ω ω0) A(ω+ω0)]

j

jπFT

a(t)ejω0t← →A(ω ω0)2j

j

a(t)ejω0t的傅立叶变换是a(t)sinω0t的傅立叶变换的正频率部分。2

（3）

a(t)cosω0t和a(t)sinω0t的傅立叶变换是希尔伯特变换对。

6.5

6.6

6.7若零均值平稳窄高斯随机信号X(t)的功率谱密度如题图6.7

（1）试写出此随机信号的一维概率密度函数；（2）写出X(t)的两个正交分量的联合概率密度函数。

0题图6.7

解：

(1)零均值平稳窄带高斯信号X(t)的正交表达式为

x(t)=i(t)cosω0t q(t)sinω0t

基于功率谱计算功率得

+∞

1

P=RX(0)=σ=

2π

2X

∞

∫

SX(ω)dω=

AW2π

X(t)为0均值的高斯随机信号,所以

所以一维概率密度

X(t) N(0,σ2)

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2f(x)=2σ

x2

,σ=

2

AW2π

(2)又因为X(t)的功率谱关于中心频率ω0偶对称

由（6.37）得即

Sqi(ω)=0Rqi(τ)=E[i(t1)q(t2)]=0

所以i(t),q(t)彼此正交，做为零均值的高斯信号也彼此独立，所以

fiq(i,q;t1,t2)=fi(i,t1)fq(q,t2)=

1

e2πσ2

(i2+q2)2σ2

,σ=

2

AW2π

6.8对于窄带平稳随机过程x(t)=i(t)cosω0t q(t)sinω0t，若其均值为零，功率谱密度为

Pcos[π(ω ω0)/ ω],

Sx(ω)= Pcos[π(ω+ω0)/ ω],

0，

式中P, ω及ω0>> ω都是正实常数。试求

（1）x(t)的平均功率；（2）i(t)的功率谱密度；

（3）互相关函数Riq(τ)或互谱密度Siq(ω)；（4）i(t)与q(t)是否正交或不相关？解：

（1）x(t)的平均功率：

ω ω0≤ ω/2ω+ω0≤ ω/2其它

PN=

1+∞1ω0+ ω2

S(ω)dω=Pcos π(ω ω0) ω dωN ∫∫ ∞ω ω02ππP+ ω=∫cos[πω ω]dω

ω2π

+ ω2

P ω2P ω

PN=2sin[πω ω]=

ππ2 ω2

（2）N(t)是零均值平稳窄带随机信号，所以有：

πω

, w SN(ω+ω0)+SN(ω ω0) 2Pcos Si(ω)=Sq(ω)= = ω≤ w

02 0,other

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（3）互相关函数Riq(τ)或互谱密度Siq(ω)

因为N(t)是零均值平稳窄带随机信号，并且SN(ω)是关于ω0偶对称，有9.3的性质，定理可知，互谱密度Siq(ω)为0，互相关函数Riq(τ)也为0

（4）由Riq(τ)=0，所以i(t)与q(t)任意时刻正交。因为i(t)与q(t)是零均值的，所以i(t)

与q(t)是不相关的。

6.96.106.11

已知零均值窄带平稳噪声X(t)=A(t)cosω0t B(t)sinω0t的功率谱密度如题图6.11所示。画出下列情况下随机过程A(t)，B(t)各自的功率谱密度：（1）（3）

ω0=ω1

ω0=(ω1+ω2)/2

（2）ω0=ω2

判断上述各种情况下，过程A(t)，B(t)是否互不相关。

2

1

6.11

12

解：

因为X(t)是零均值平稳窄带随机信号,所以有：

S(ω+ω0)+Sx(ω ω0)

SA(ω)=SB(ω)= x

0

ω<ω0

其它

j[S(ω ω0) Sx(ω+ω0)]

SBA(ω)= SAB(ω)= x

0

功率谱图形如下：

（1）

ω<ω0

其它

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2

2）

1

3）

1

21

2

2

X(t)的功率谱不以中心频率ω0偶对称，所以互功率谱密度SBA(ω)在三种情况

下都不为0,所以A(t),B(t)相关.

6.12

6.13同步检波器如下题图6.13所示，输入X(t)为窄带平稳噪声，它的自相关函数为

2 βRX(τ)=σXecosω0τ，β ω0。

若另一输入Y(t)=Asin(ω0t+θ)，其中A为常数，θ服从(0,2π)上的均匀分布，且与X(t)独立。求检波器输出Z(t)的平均功率。

6.13

解：

由题意知

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E[Y(t)]=E[Asin(ω0t+θ)]

2π

=

∫

02π

Asin(ω0t+θ)

1

θ=02π

RY(t+τ,t)=E[Y(t+τ)Y(t)]

=

∫

Asin[ω0(t+τ)+θ]Asin(ω0t+θ)

1θ2π

A2=cosω0τ=RY(t)2

所以Y(t)]也是平稳的.设

M(t)=X(t)Y(t)由于X(t),Y(t)独立,不难得:

E[M(t)]=E[X(t)Y(t)]=E[X(t)]E[Y(t)]=0,

RM(t+τ,t)=E[X(t+τ)Y(t+τ)X(t)Y(t)]

=E[X(t+τ)X(t)]E[Y(t+τ)Y(t)]=RX(τ)RY(τ)12 β=A2σXecos2ω0τ2

所以经过低通滤波器LPF后，由于

RM(τ)=

122 βAσXecos2ω0τ212 β1+cos2ω0τ=A2σXe22112 β2 βτ=A2σXe+A2σXecos2ω0τ44

其中高频成分：

122 βAσXecos2ω0τ被滤掉，所以4

12 βRZ(τ)=A2σXe

4

所以Z(t)的平均功率

PZ=RZ(0)=

122AσX4

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