2011级硕士研究生试题

2011级硕士研究生《高等工程数学》

一、填空题（3*10=30）

1、 已知?2?2的两个基

??10??01??00??00????10???11??1?1??1?1??B1???,,,,B?,?,?,??2??????????????000010010000101?1????????????????????则B1到B2的过渡矩阵P=

2、 若T是线性空间Vn上的线性变换，B是Vn的一个基，TB=BA，?0是T的特征值，

且Ax??0x，x?O（零元），则T关于特征值?0的一个特征向量为

?300???k3、 设A?421，B=cA，其中c是实数，则limB?O的充要条件是

??k????523???101???4、 设A?021，则A的平方根分解为 ????113??5、 矩阵A???2101??全部正奇异值为

1021??6、 设总体X?N(?,4)，X1,X2,?,Xn是来自该总体的一个样本，为了得到未知参

数?的长度不超过0.2的置信度为0.99的置信区间，则样本容量n至少应是 7、 设总体X分布律为

X pk 1 2 3 ?2 2?（1-?) (1??)2 ?= 其中0???1未知，已有样本观测值x1?1,x2?2,x3?1，则?的矩估计量?8、 某工厂一年内的事故数按星期一至星期五分成5类进行统计，其数据如下： 星期 事故数 一 15 二 11 三 13 2四 10 五 14 合计 63 为了判断事故的发生是否与星期几有关，计算得?拟合优度检验中的检验统计量

?2=

9、 设有正态线性回归模型：

y1??1??1??y2?2?1??2??2? ?y3??1+2?2??3??id.?N(0,?2)??1，?2，?3 i..其中y1，y2，y3是可观测随机变量，则未知参数?1，?2的最小二乘估计分别为：

?= ，??= ?12

二、（10分）对任意的f(t)?a0?a1t?a2t2?P2(t)，定义线性变换

Tf(t)?(a0?a1)?(a1?a2)t?(a2?a0)t2

（1） 求T在基B?{1,t,t}下的矩阵表示； （2） 试问线性变换T是否可以对角化？要说明理由.

2?110???三、（10分）求矩阵A?020的最小多项式mA(?)和Jordan标准形. ?????122??

?et?四、（10分）已知方阵函数eAt??0?et?e2t?

e2t?ete2te2t-et0??0?，试求矩阵A。 e2t???1213??1?????五、（10分）设A?0111，x??4，b?2。 ???????2537???k??（1） 当k为何值时，方程Ax=b是不相容的？

（2） 当方程组不相容时，求极小范数最小二乘解.

六、（10分）设总体X的概率密度为

??2?xe??x,x?0f(x;?)??

??0, x?02?； （1） 求?的极大似然估计??是??1的最小方差无偏估计。 （2） 证明??1

七、（10分）下面列出了随机选取的用于计算器的四种类型电路的响应时间X（以毫秒计）： ij电路类型 A B C D 响应时间 19 22 20 18 15 20 29 21 33 27 16 17 15 18 26 18 23 19 设各总体服从同方差的正态分布，试在显著性水平?=0.05下，检验各种类型的电路的

响应时间有无显著性差异？

八、（10分）设随机向量X?[x1,x2,x3]T的协方差矩阵为：

?422??

V??242????224??试求X的第一个主成分y1及其贡献率

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