中考数学专题：阅读理解（整除问题）

中考数学专题：阅读理解（整除问题）

基本知识：用字母表示一个多位数，数的整除的特征，不定方程的整数解。 【基本题1】一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，求这个两位数。

【基本题2】求方程3x?21y?117的所有正整数解

【基本题3】求方程2x?3y?22的所有正整数解。

【基本题4】一个整数的末三位数字组成的数与其末三位以前的数字组成的数之间的差是7的倍数时，这个整数可以被7整除吗？请证明你的判断。

【经典例题1】一个三位数是偶数且能能被7整除，求出所有这样的所有三位数

【经典例题2】试说明把一个两位数的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，所得的新两位数与原两位数的和能被11整除，所得的新两位数与原两位数之差能被哪个质数整除？说明理由。

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1.一个三位正整数N，各个数位上的数字互不相同且都不为0，若从它的百位、十位、个位上的数字任意选择两个数字组成两位数，所有这些两位数的和等于这个三位数本身，则称这样的三位数N为“公主数”，例如：132，选择百位数字1和十位数字3组成的两位数为13和31，选择百位数字1和个位数字2组成的两位数为12和21，选择十位数字3和个位数字2组成的两位数为32和23。因为13+31+12+21+32+23=132，所以132是“公主数”。 一个三位正整数，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和，则称这样的三位数为“伯伯数”。

（1）判断123是不是“公主数”？请说明理由。

（2）证明:当一个“伯伯数”xyz是“公主数”时，则z?2x。

（3）若一个“伯伯数”与132的和能被13整除，求满足条件的所有“伯伯数”。

2.（巴蜀中学期末考试27题）一个三位正整数M，其各位数字互不相同且都不为0，若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“情谊数”， 如：168的“情谊数”为618；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12＋13＋21＋23＋31＋32＝132。

（1）求证：M与其“情谊数”的差能被15整除；

（2）若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a，个位数字为b，且各位数字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“团结数”与N之差为24，求N的值。

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3.你听说过“好数”吗？数学里的“好数”有多种定义，我们这里给大家介绍其中的一种：对于自然数N，如果找到自然数a和b，使得N?a2?2ab?2b2，则称N为“好数”，例如13就是一个“好数”，因为13?12?2?1?2?2?22。 （1）判断：25是“好数”吗？为什么？

（2）小明找到一些这样的“好数”后发现一规律：这些“好数”都可以看作是两个完全平方数之和，你认为小明发现的规律正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请举出反例。 （3）如果m ，n都是“好数”，那么mn是否为“好数”？为什么？

4．若一个三位整数，百位上数字的2倍加上十位上数字的3倍，再加上个位上数字所得的和能被7整除，则称这个整数为“劳动数”．

例如：判断210是“劳动数”的过程如下：2×2+3×1+0=7，∵7能被7整除，∴210是“劳动数”；

判断322是“劳动数”的过程如下：2×3+3×2+2=14，∵14能被7整除，∴322是“劳动数”； （1）直接写出最小的“劳动数”为 ，并请用上面的方法判断448是否为“劳动数”；

（2）试证明：所有的“劳动数”均能被7整除．

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5.如果一个四位自然数的百位数字大于或等于十位数字，且千位数字等于百位数字与十位数字的和，个位数字等于百位数字与十位数字的差，则我们称这个四位数为亲密数，例如4312，其中3>1,4=3+1,2=3-1，所以4312是亲密数。 （1）最小的亲密数是___________，最大的亲密数是_______________；

（2）若把一个亲密数的千位数字与个位数字交换，得到的这个新数叫做这个亲密数的友谊数，请证明任意一个亲密数和它的友谊数的差都能被原亲密数的十位数字整除。

（3）若一个亲密数的后三位数字所表示的数与千位数字所表示的数的7倍之差能被13整除，请求出这个亲密数。

6．若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数，如22，797，12321都是对称数．最小的对称数是11，没有最大的对称数，因为数位是无穷的．

（1）有一种产生对称数的方式是：将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，便可得到一个对称数．如：17的逆序数为71，17＋71=88，88是一个对称数；39的逆序数为93，39＋93=132，132的逆序数为231，132＋231=363，363是一个对称数．请你根据以上材料，求出由369产生的第一个对称数；

（2）若将任意一个四位对称数分解为前两位数所表示的数，和后两位数所表示的数，请你证明这两个数的差一定是9的整数倍；

（3）若将一个三位对称数减去其各位数字之和，所得的结果能被11整除，则满足条件的三位对称数共有多少个？请直接写出符合条件的所有三位对称数。

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7.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20这三个数都是神秘数． （1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？

（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？ 18.利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式： 1a2?b2?c2?ab?bc?ac?(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2 2概念等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁、美观 （1）请你检验这个等式的正确性； 111x?20，b?x?19，c?x?21 （2）若a?202020??你能很快求出a2?b2?c2?ab?bc?ac吗？

9．任意写一个个位数字不为零的四位正整数A，将该正整数A的各位数字顺序颠倒过来，得到四位正整数B，则称A和B为一对四位回文数．例如A＝2016，B＝6102，则A和B就是一对四位回文数．现将A的回文数B从左往右，依次顺取三个数字组成一个新数，最后不足三个数字时，将开头的一个数字或两个数字顺次接到末尾．在组成三位新数时，如遇最高位数字为零，则去掉最高位数字，由剩下的两个或一个数字组成新数，将得到的所有新数求和，把这个和称为A的回文数B作三位数的和．例如将6102依次顺取三个数字组成的新数分别为：610，102，26，261．它们的和为：610+102+26+261=999，把999称为2016的回文数作三位数的和。

（1）请直接写出一对四位回文数；猜想一个四位正整数的回文数作三位数的和能否被111整除？并说明理由；

（2）已知一个四位正整数1x1y（千位数字为1，百位数字为x且0≤x≤9，十位数字为1，个位数字为y且0＜y≤9的回文数作三位数的和能被27整除，请求出y与x的数量关系．

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10．如果一个正整数能写成两个连续非负偶数的平方差，我们就把这个数叫做奇异数. 例如

4?22?02,12?42?22，4和12就是奇异数，两个连续正偶数分别用2k?2和2k表示（k是非负整数）.

（1）小雷说一个奇异数一定是4的倍数，你能说出其中的理由吗？ （2）小华说：“不是所有的4的倍数都是奇异数.”你认为她的说法对吗？若认为正确，请举出一个不是奇异数的4的倍数. （3）如果一个正整数能写成两个连续非负奇数的平方差，我们就把这个数叫做美丽数.

①若一个美丽数一定是m的倍数，则m= . ②m的倍数一定 (填“是”或“不是”)美丽数.

③是否存在一个正整数，它既是奇异数，又是美丽数？若存在，请写出一个这样的数；若不存在，请简要说明理由.

11. 我们可以将任意三位数表示为abc（其中a、b、c分别表示百位上的数字，十位上的数字和个位上的数字，且a?0）.显然，abc?100a?10b?c；我们把形如xyz和zyx的两个三位数称为一对“姊妹数”（其中x、y、z是三个连续的自然数）如：123和321是一对姊妹数，678和876是一对“姊妹数”。 （1）写出任意三对“姊妹数”， 并判断2331是否一对“姊妹数”的和

（2）如果用x表示百位数字，求证：任意一对“姊妹数”的和能被37整除。

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12.若在一个两位正整数N的个位数字和十位数字之间添上数字2，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“诚勤数”，如34的“诚勤数”为324。若将一个两位正整数M加上2后得到一个新数，我们称这个新书为M的“立达数”，如34的“立达数”为民36.

（1）对于任意一个两位正整数A，其“诚勤数”与“立达数”之差能被6整除； （2）若一个两位正整数B的“立达数”的各位数字之和是B的各位数字之和的一半，求B的值。

13.若一个正整数p能表示为两个不相等正整数a,b（a

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14．阅读材料，回答问题：若整数m是8的倍数，那么称整数m为“发达数”．例如，因为16是8的倍数，所以16是“发达数”．

（1）已知整数m等于某个奇数的平方减1，求证：m是“发达数”． （2）已知两位正整数t?10x?y（1?x?y?9，其中x、y为自然数），交换

其个

位上的数字和十位上的数字得到新数s，如果s加上t的和是“发达数”，求出所有符合条件的两位正整数t．

15．一个正整数，由N个数字组成，若它的第一位数可以被1整除，它的前两位数可以被2整除，前三位数可以被3整除，?，一直到前N位数可以被N整除，则这样的数叫做“精巧数”．如：123的第一位数“1”可以被1整除，前两位数“12”可以被2整除，“123”可以被3整除，则123是一个“精巧数”． （1）若四位数123k是一个“精巧数”，求k的值；

（2）若一个三位“精巧数”2ab各位数字之和为一个完全平方数，请求出所有满足条件的三位“精巧数”． 解：（1）∵四位数是一个“精巧数”， ∴1230+k是4的倍数； 即1230+k=4n，

当n=308时，k=2；当n=309时，k=6， ∴k=2或6； （2）∵是“精巧数”，∴a为偶数，且2+a+b是3的倍数， ∵a＜10，b＜10，∴2+a+b＜22， ∵各位数字之和为一个完全平方数， ∴2+a+b=32=9，

∴当a=0时，b=7；当a=2时，b=5；当a=4时，b=3；当a=6时，b=1， ∴所有满足条件的三位“精巧数”有：207，225，243，261．???????（10分）

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