中考数学总复习 - 全部导学案（学生版）

反思与提高 第10课时 平行四边形

一、选择题

1．（2008 江西南昌）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（ ） ．．．A．S△AFD?2S△EFB B．BF?12DF

C．四边形AECD是等腰梯形 D．?AEB??ADC

２.（2008南京）如图，将一张等腰梯形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形，这个新的图形可以是下列图形中的（ ） A.三角形 B.平行四边形 C.矩形 D.正方形

3．在周长为20cm的平行四边形ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为( )

A．4cm B.6cm C.8cm D.10cm

A D AE F

OB C E

CB

第１题图 第2题图 第３题图

4．以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

D5．（2008山东潍坊）在平行四边形ABCD中，点A1、A2、A3、A4和C1、C2、C3、C4分别AB和CD的五等分点,点B1、B2和D1、D2分别是BC和DA的三等分点,已知四边形A4 B2 C4 D2的积为1,则平行四边形ABCD面积为（ ） A.2 B.

35 C.

53 D.15

6．下面几组条件中，能判断一个四边形是平行四边形的是（ ） A．一组对边相等 B．两条对角线互相平分 C．一组对边平行 D．两条对角线互相垂直 二、填空题 7．（2008济南）如图，在?ABC中，EF为?ABC的中位线，Ｄ为 BC边上一点(不与B、C重合)，AD与EF交于点Ｏ，连接DE、DF， 要使四边形AEDF为平行四边形，需要添加条件 ．(只E 添加一个条件) 8．（2008宜宾）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分B 别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于点M、N. 给出下列结论：①△ABM≌△CDN；②AM=③DN=2NF；④S△AMB=

1213A F C O D 第７题图

EMAC；

ADNC S△ABC.其中正确的结论

B—◇◇ 1 ◇◇—

F是 （只填序号）.

第８题图

三、解答题 9．（2008 永州市）如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB

（1）求证：四边形EFCD是菱形； （2）设CD＝4，求D、F两点间的距离．

10．（2008山西省）如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF． （1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明． （2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由． （3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．（8分）

11．(2009长春)如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=32°.分别以BC、CD为边

向外作△BCE和△DCF，使BE=BC，DF=DC，∠EBC=∠CDF，延长AB交边EC于点H，点H在E、C两点之间，连结AE、AF. （1）求证：△ABE≌△FDA. （2）当AE⊥AF时，求∠EBH的度数.

—◇◇ 2 ◇◇—

反思与提高 反思与提高 第11课时 矩形、菱形、正方形（一）

一、选择题

1. 如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE//CA， DF//BA．下列四个判断中，不正确的是（ ） ．．．A. 四边形AEDF是平行四边形 B. 如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形 C. 如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形

第1题图

D. 如果AD⊥BC是AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形 2．下列命题正确的是（ ）

A．对角线互相平分的四边形是菱形； B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形

第3题图

3．如图，两张宽度相等的纸条交叉重叠，重合部分是（ ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 4．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连DF，∠CDF等于（ ） A．80° B．70° C．65° D．60° 5．如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=5过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E则AE的长是（ ） A．1.6 B．2.5 C．3 D．3.4 6.如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在

C?处，BC?交AD于E，则下列结论不一定成立的是

C?

C．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形； D．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.

第4题图

（ ）

A．AD?BC?

B．?EBD??EDB

AEED第5题图 D C

A

B

E C．△ABE∽△CBD D．sin?ABE?

7.顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（ ） A．矩形 B．直角梯形 C．菱形 二、填空题

8. 如图，l∥m，矩形ABCD的顶点B在直线m上，则??? 度． 9. 如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是 ．

10．将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是正方形的中心，则途中四块阴影部分的面积和为__________cm2.

D

C D A D? l BE C65° A

A B C?

C m D?

B B? 第10题图 第8题图 第 9题图

—◇◇ 3 ◇◇—

第 6题图

D．正方形

反思与提高 11.如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 ．

12.如图，正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是 cm2． A B

第11题图

D E

三、解答题

F C

第 12题图

13．如图，平行四边形 ABCD中，O是对角线AC的中点，EF⊥AC交CD于E，交AB于F，问四边形AFCE是菱形吗？请说明理由．

第13题图

14.两个完全相同的矩形纸片ABCD、BFDE如图放置，AB?BF． 求证：四边形BNDM为菱形．

A B

M E D C

F

N 第14题图

15.学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dcm，如图所示．已知每个菱形图案的边长103cm，其一个内角为60°．

60° ?? d L 第15题图

（1）若d＝26，则该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L；

（2）当d＝20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？

—◇◇ 4 ◇◇—

反思与提高 第12课时 矩形、菱形、正方形（二）

一、选择题

1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是 ( )

A.对角线相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.四条边相等 2.菱形的一个内角为60°，一边长为2，则它的面积为：（ ） A．3 B.

32 C.23 D.43

3.由菱形两条对角线交点向各边引垂线，以各垂足为顶点的四边形是（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形

4.如图,正方形ABCD中,点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论: （1）∠E=22.5° (2) ∠AFC=112.5°(3) ∠ACE=135° （4）AC=CE．(5) AD∶CE=1∶

2.

其中正确的有（ ）A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 5.如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ） A．10cm B．20cm C．40cm2 二、填空题

D．80cm2

22第4题图 D A C 第 5题图 B 6. 在菱形ABCD中，已知AB＝10,AC＝16,那么菱形ABCD的面积为_____. 7. 如图,正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果Q点从A点出发，沿图中A 所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点RQ 从B点出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为 ．

M C D B 8．如图（1），把一个长为m、宽为n的长方形第7题图 R m （m?n）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为

在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ） A．C．

m?n2n n n （1） 第8题图 （2）

A D

P E

B．m?n

D．

n2m2

9．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有

D?PE一点P，使P

的和最小，则这个最小值为 ．

B —◇◇ 5 ◇◇—

第9题图

C

反思与提高 三、解答题

10．已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上的一点，DF交AC于E，求证： ∠ABE=∠CFE．

BFC

E

第10题图

11.已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为矩ABCD AD外一点，且AE⊥CE，求证：BE⊥DE

EADO 第11题图

12.已知正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O.

①若E是AC上的点，过A 作AG⊥BE于G，AG、BD交于F，求证:OE=OF ②若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG延长线交DB 延长线于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？

AOGBFDBCAODCEBFGEC

第12题图

13．如图，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P．

（1）若AG=AE，证明：AF=AH； （2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH；

（3）若RtΔGBF的周长为1，求矩形EPHD的面积．

B

F 第13题图

C 反思与提高 第13课时 圆的基本性质

—◇◇ 6 ◇◇—

一、选择题 1.如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝50°，则∠ACB的大小为（ ） A．40° B．30° C．45° D．50° 2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B=60°，则∠CAO的度数是（ ） A．15° B．30° C．45° D．60°

第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 3.如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 4．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC＝110°，AD∥OC，则∠AOD＝（ ）A．70° B．60° C．50° D．40°

o

5.如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A＝70，∠C＝50o， 那么sin∠AEB的值为( ) A.

12 B.

33 C.2 D.

232

6.如图，点A、B、C、D为圆O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O-C-D-O的路线作匀速运动.设运动时间为t秒, ∠APB的度数为y度，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是( ).

7.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ） A．0.4米 B．0.5米 C．0.8米 D．1米

C B D 第7题图 第8题图 第10题图 第11题图 第12题图 8．如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（ ） A．OM的长 B．2OM的长 C．CD的长 D．2CD的长 9.已知⊙O是△ABC的外接圆，若AB＝AC＝5，BC＝6，则⊙的半径为（ ） A．4 B．3.25 C．3.125 D．2.25 10.如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（ ）A．25° B．40° C．30° D．50° 11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于（ ） A．53 B．5 C．52 D．6

12.如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，CD⊥AB，DE∥BC，则图中与

—◇◇ 7 ◇◇—

A

反思与提高 △ABC相似的三角形的个数有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 1.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO = 32°，则∠COB的度数等于 ． 2.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上 ，OD∥AC，若BD=1，则BC的长为 . 3．如图，⊙O的半径为5，P为圆内一点，P点到圆心O的距离为4，则过P点的弦长的最小值是________.

第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 4.如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于 .

5.如图，圆O的半径OA?5cm，弦AB?8cm，点P为弦AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离是 cm．

6．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图（2）所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为 m．

7．如图，点C、D在以AB为直径的⊙O上，且CD平分?ACB，若AB＝2,∠CBA＝15°，则CD的长为 8.如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝120°，AD为⊙O的直径，AD＝6，则BD＝_____

DOABC

第5题图 第6题图 第7题图 第8题图 三、解答题 9.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD＝5． （1）若sin∠BAD?35，求CD的长； （2）若 ∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇

形OAC（阴影部分）的面积（结果保留?）．

—◇◇ 8 ◇◇—

反思与提高 第14课时 圆的综合

一、选择题 1．已知⊙O1和⊙O2相切，两圆的圆心距为9cm，⊙O1的半径为4cm，则⊙O2的半径为（ ）

A．5cm B.13cm C.9cm 或13cm D.5cm 或13cm 2．在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（ ） A．与x轴相离、与y轴相切 B．与x轴、y轴都相离 C．与x轴相切、与y轴相离 D．与x轴、y轴都相切

3．圆锥的侧面积为8πcm, 侧面展开图圆心角为45°,则该圆锥母线长为（ ） A．64cm B．8cm Ｃ、22c　m　　　Ｄ、242

cm4.如图，正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为（ ）

A．2 B．23 C．3 D．3

A A C B P O O O B C 第6题图 第4题图 第5题图 第7题图

5、如图，PA，PB分别是圆O的切线，A，B为切点，AC是圆 O的直径， ??BAC?35，?P的度数为（ ）

A．35? B．45? C．60? D．70? 6.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120°，AB的长为30cm，贴纸部分BD的长为20cm，则贴纸部分的面积为（ ） A．100?cm2

B．

4003?cm2C．800?cm2

D．

8003?cm

2二、填空题

7．如图，AB是⊙O的弦，OC?AB于点C，若AB?8cm，OC?3cm，则⊙O的半径为 cm． 8．若O为△ABC的外心，且∠BOC＝60°，则∠BAC= °．

9．圆O1和圆O2的半径分别为3cm和5cm，且它们内切，则圆心距O1O2等于 cm．

10．圆锥的底面半径是1，母线长是4，它的侧面积是 ______． 11．已知⊙O的半径是3，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与⊙O的位置关系是 ． 三、解答题

12．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，且AB?13，BC?5．

C （1）求sin?BAC的值；

（2）如果OD?AC，垂足为D，求AD的长；

（3）求图中阴影部分的面积． A

第12题图

—◇◇ 9 ◇◇—

D O B 反思与提高 14．AB是⊙O的直径，PA切⊙O于A，OP交⊙O于C，连BC．若?P?30，求?B的度数． A

P

C O

B 第14题图

15．如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90?得到△AB1C1． （1）在正方形网格中，作出△AB1C1；

（2）设网格小正方形的边长为1，求旋转过程中动 点B所经过的路径长．

第15题图

16.如图，某种雨伞的伞面可以看成由12块完全相同的等腰三角形布料缝合而成.量得其中一个三角形OAB的边OA=OB=56cm. （1）求∠AOB的度数；

（2）求△OAB的面积.（不计缝合时重叠部分的面积）

第16题图

17．如图，点C是半圆O的半径OB上的动点，作PC?AB于C．点D是半圆上位于PC左侧的点，连结BD交线段PC于E，且PD?PE． （1）求证：PD是圆O的切线．

2（2）若圆O的半径为43，PC?83，设OC?x，PD?y． P ①求y关于x的函数关系式．

?②当x?3时，求tanB的值． D

E

A B O C 第17题图

—◇◇ 10 ◇◇—

中考数学专题一（1）：动点与动圆

1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（－2，－2），半径为2．函

数y＝－x＋2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为AB上一动点 （1）连接CO，求证：CO⊥AB；

（2）若△POA是等腰三角形，求点P的坐标；

（3）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，

点M为线段EF的中点，令PO＝t，MO＝s，求s与t之间的函数关系，并写出t的取值范围．

变式练习：

如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧）. 已知A点坐标为（0，3）.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D， 如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积. yy BP · O C· Ax 2、如图，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D（3，0）和点E（0，4）．动点C 从点MA （5，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点DD 出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为t秒． O B （1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标； C x

（2）以点C为圆心、1/2 t个单位长度为半径的圆C与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB． —◇◇ 11 ◇◇—

①当与射线DE有公共点时，求t的取值范围； ②当△PAB为等腰三角形时，求t的值．

变式练习

22．如图，在平面直角坐标系中，点O1的坐标为（-4,0），以点O1为圆心，8为半径的圆与x轴交于A，B两点，过A作直线l与x轴负方向相交成60°的角，且交y轴于C点，以点

O2(13，5)为圆心的圆与x轴相切于点D．

（1）求直线l的解析式；

（2）将⊙O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，当⊙O2第一次与⊙O1外切时，求⊙O2平移的时间．

C 3、如图10，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC=4，∠OAC=600． （1）求∠AOC的度数；

（2）在图10中，P为直径BA延长线上的一点，当CP与⊙O相切时，求PO的长； （3） 如图11，一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长．

\\

P

A

O

B

A M · B

C C l 60° y O1 O B O2 D x A O —◇◇ 12 ◇◇—

图10

图11

变式练习

如图，已知⊙O的直径AB＝2，直线m与⊙O相切于点A，P为⊙O上一动点（与点A、点B不重合），PO的延长线与⊙O相交于点C，过点C的切线与直线m相交于点D．

（1）求证：△APC∽△COD．

（2）设AP＝x，OD＝y，试用含x的代数式表示y． （3）试探索x为何值时，△ACD是一个等边三角形．

中考数学专题一（2）动线与动圆

深圳题中考回顾：

如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，

k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.

（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；

（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？

例题1

已知：如图，⊙A与y轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为5，过点C作⊙A的切线交x于点B（－4，0）。

（1）求切线BC的解析式；

（2）若点P是第一象限内⊙A上一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标；

—◇◇ 13 ◇◇—

（3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在x上），

与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点A，使得△AEF是直角三角形？若存在，求出点A 的坐标，若不存在，请说明理由。

变式训练：

如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离点P 320千米处.

(1) 说明本次台风会影响B市； （2）求这次台风影响B市的时间.

例题2：

如图所示，抛物线:y=—x2+2x+3与x轴交于A、B两点，直线BD的函数表达式为y=—3x + 33，抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E． ⑴求A、B、C三个点的坐标． ⑵点P为线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），以点A为圆心、以AP为半径的y 圆弧与线段AC交于点M，以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，分D 别连接AN、BM、MN． l ①求证：AN=BM．

②在点P运动的过程中，四边形AMNB的面积有最大值还是有求出该最大值或最小值.

N —◇◇ 14 ◇◇—

最小值？并C M A O E P B

变式练习：

如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y?2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA=5。若抛物线y?16x?bx?c过点O、A两点。

2（1）求该抛物线的解析式；

（2）若A点关于直线y?2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆。过原点O作O1的切线OP，P为切点（P与点C不重合），抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O1相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由。

例题3、

如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是?APB上任一点

（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点

A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C． （1）求弦AB的长；

—◇◇ 15 ◇◇—

（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由； （3）记△ABC的面积为S，若

SDE2＝43，求△ABC的周长.

C P D A O E B

专题二几何证明

1.点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作?ABE和?BCF，连接AF，CE．取AF、CE的中点M、N，连接BM，BN， MN．

(1)若?ABE和?FBC是等腰直角三角形，且?ABE??FBC?900(如图1)，则?MBN是 三角形．

(2)在?ABE和?BCF中，若BA=BE,BC=BF,且?ABE??FBC??，(如图2)，则?MBN是 三角形，且?MBN? .

(3)若将(2)中的?ABE绕点B旋转一定角度,(如同3)，其他条件不变，那么(2)中的结论是否成立？ 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.

F F

MENEEMNF AMNB（如图2）CA

B（如图3）CAB（如图1)C

2.如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于Q.探究：设A、P两点间的距离为x.

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APDQCB(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；

(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出函数自变量x的取值范围；

(3)当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能,指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置.并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由.

3.(1)如图1，四边形ABCD中，AB?CB，?ABC?60?，?ADC?120?，请你猜想线段DA、DC之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论；

(2)如图2，四边形ABCD中，AB?BC，?ABC?60?，若点P为四边形ABCD内一点，且?APD?120?，请你猜想线段PA、PD、PC之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论．

图2

4. (1)如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=

12图１

∠BAD.求证:EF＝BE＋FD;

ADBECF

(2) 如图2在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，

且∠EAF=

12∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立？不用证明.

12(3) 如图25-3在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=

∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写

出它们之间的数量关系，并证明.

5. 以?ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt?ABD和等腰Rt?ACE，

?BAD??CAE?90?,连接DE，M、N分别是BC、DE

的中点．探究：AM与DE的位置及数量关系．

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(1)如图① 当?ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ， 线段AM与DE的数量关系是 ；

(2)将图①中的等腰Rt?ABD绕点A沿逆时针方向旋转??(0

6.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90?，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．

（1）若m = n时，如图，求证：EF = AE；

（2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF = AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若m = tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF =（t + 1）AE成立？并求出点E的坐标．

7.如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F. （1）如图2，当BP=BA时，∠EBF= ▲ °，猜想∠QFC= ▲ °； （2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；（3）已知线

段AB=23，设BP=x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式．

8. 如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，已知AD＝AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒． (1)求NC，MC的长(用t的代数式表示)；

(2)当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？

(3)是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

(4)探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形？

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9．如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM＝得到图③，请解答下列问题： (1)若AB＝AC，请探究下列数量关系：

①在图②中，BD与CE的数量关系是________________；

②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想； (2)若AB＝k·AC(k＞1)，按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．

10、如图１，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角α为60．

⑴求AO与BO的长；

⑵若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行.

①如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米；

②如图３，当A点下滑到A’点，B点向右滑行到B’点时，梯子AB的中点P也随之运动到P’点．若∠POP’＝ 15，试求AA’的长．

??12BD，EN＝

12CE，

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中考数学专题三 列方程（组）解应用题

【前言】在中考中，有一类题目说难不难，说不难又难，有的时候三两下就有了思路，有的时候苦思冥想很久也没有想法，这就是列方程或方程组解应用题。方程可以说是初中数学当中最重要的部分，所以也是中考中必考内容。从近年来的中考来看，结合时事热点考的比较多，所以还需要考生有一些生活经验。实际考试中，这类题目几乎要么得全分，要么一分不得，但是也就那么几种题型，所以考生只需多练多掌握各个题类，总结出一些定式，就可以从容应对了。

第一部分 真题精讲

【例1】“家电下乡”农民得实惠，根据“家电下乡”的有关政策：农户每购买一件家电，国家将按每件家电售价的13%补贴给农户，小明的爷爷2009年5月份购买了一台彩电和一台洗衣机，他从乡政府领到了390元被贴款，若彩电的售价比洗衣机的售价高1000元，问一台彩电和一台洗衣机的售价各是多少元？ ．

【例2】某采摘农场计划种植A、B两种草莓共6亩，根据表格信息，解答下列问题：

项目 品种 年亩产（单位：千克）

采摘价格（单位：元/千克）

A 1200 60

B 2000 40

(1)若该农场每年草莓全部被采摘的总收入为460000元，那么A、B两种草莓各种多少亩? (2)若要求种植A种草莓的亩数不少于种植B种草莓的一半，那么种植A种草莓多少亩时，可使该农场每年草莓全部被采摘的总收入最多?

【例3】2009年12月联合国气候会议在哥本哈根召开．从某地到哥本哈根，若乘飞机需要3小时，若乘汽车需要9小时．这两种交通工具平均每小时二氧化碳的排放量之和为70千克，飞机全程二氧化碳的排放总量比汽车的多54千克，分别求飞机和汽车平均每小时二氧化碳的排放量．

【例4】某中学拟组织九年级师生外出．下面是年级组长李老师和小芳同学有关租车问题的对话：

李老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座客车每辆每天的租金多200元．”

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小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车外出参观，一天的租金共计5000元．”

根据以上对话，求客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？

【例5】《喜羊羊与灰太狼》是一部中、小学生都喜欢看的动画片，某企业获得了羊公仔和狼

公仔的生产专利．该企业每天生产两种公仔共450只，两种公仔的成本和售价如下表所

示．如果设每天生产羊公仔x只，每天共获利y元． （1）求出y与x之间的函数关系及自变量x的取值范围；

（2）如果该企业每天投入的成本不超过10000元，那么要每天获利最多，应生产羊公仔

和狼公仔各多少只？

.

类别 羊公仔 狼公仔 成本（元/只） 20 30 售价（元/只） 23 35 第二部分 发散思考

【思考1】改革开放30年来，我国的文化事业得到了长足发展，以公共图书馆和博物馆为例，1978年全国两馆共约有1550个，至2008年已发展到约4650个. 2008年公共图书馆的数量比1978年公共图书馆数量的2倍还多350个，博物馆的数量是1978年博物馆数量的5倍. 2008年全国公共图书馆和博物馆各有多少个？ 。

【思考2】将进价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个，经市场调查得知，该商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？

【思考3】北京市实施交通管理新措施以来，全市公共交通客运量显著增加.据统计，2008年10月11日到2009年2月28日期间，地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量总和为1696万人次，地面公交日均客运量比轨道交通日均客运量的4倍少69万人次.在此期间，地面

公交和轨道交通日均客运量各为多少万人次？ 。

【思考4】某运输公司用10辆相同的汽车将一批苹果运到外地，每辆汽车能装8吨甲种苹果，

或10吨乙种苹果，或11吨丙种苹果．公司规定每辆车只能装同一种苹果，而且必须满载．已知公司运送了甲、乙、丙三种苹果共100吨，且每种苹果不少于一车． （1）设用x辆车装甲种苹果，y辆车装乙种苹果，求y与x之间的函数关系式，并写 出自变量x的取值范围；

（2）若运送三种苹果所获利润的情况如下表所示： 苹果品种 每吨苹果所获利润（万元） 甲 乙 0.20.22 1 丙 0.2 设此次运输的利润为W（万元），问：如何安排车辆分配方案才能使运输利润W 最大，并求出最大利润． 了。

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专题四.二次函数

(1)二次函数经典应用题

1、某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件. （1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？

（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？

2、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．

（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）

（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？

（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？

3、张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD．设AB边的长为x米．矩形ABCD的面积为S平方米．

（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）． （2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值． （参考公式：二次函数y?ax?bx?c（a?0），当x??2b2a时，y最大(小)值?4ac?b4a2)

4、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系y??50x?2600，去年的月销售量p（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：

月份

销售量

1月 3.9万台

5月 4.3万台

（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？

（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了m%，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求m的值（保留一位小数）． （参考数据：34≈5.831，35≈5.916，37≈6.083，38≈6.164）

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5、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y?kx?b，且x?65时，y?55；x?75时，y?45． （1）求一次函数y?kx?b的表达式；

（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．

6、某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。

（1）请建立销售价格y（元）与周次x之间的函数关系；

（2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z（元）与周次x之间的关系为

z??18(x?8)?12， 1≤ x ≤11，且x为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件

2获得利润最大？并求最大利润为多少？

7、茂名石化乙烯厂某车间生产甲、乙两种塑料的相关信息如下表，请你解答下列问题： 价 品 种 甲种塑料 乙种塑料 2100（元/吨） 2400（元/吨） 800（元/吨） 1100（元/吨） 200（元/吨） 100（元/吨） 每月还需支付设备管理、 维护费20000元 目 出厂价 成本价 排污处理费 （1）设该车间每月生产甲、乙两种塑料各x吨，利润分别为y1元和y2元，分别求y1和y2

与x的函数关系式（注：利润=总收入-总支出）；

（2）已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过400吨，若某月要生产甲、乙两种塑

料共700吨，求该月生产甲、乙塑料各多少吨，获得的总利润最大？最大利润是多

少？

8、某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y1（元）与销售月份x（月）满足关系式y??38x?36，而其每千克成本y2（元）与销售月份x（月）满足的函数关系如图所示．

（1）试确定b、c的值；

（2）求出这种水产品每千克的利润y（元）与销售月份x（月）之间的函数关系式； （3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？

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y2（元） y2?18x?bx?c225 24 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x（月）

第8题图

二次函数测试题

一、选择题：

1. 抛物线y?(x?2)2?3的对称轴是（ ）

A. 直线x??3

B. 直线x?3

C. 直线x??2

ca)

y D. 直线x?2

2. 二次函数y?ax2?bx?c的图象如右图，则点M(b,在（ ） A. 第一象限 C. 第三象限

B. 第二象限 D. 第四象限

O x 3. 已知二次函数y?ax2?bx?c，且a?0，a?b?c?0，

则一定有（ ） A. b2?4ac?0

B. b2?4ac?0

C. b2?4ac?0

D. b2?4ac≤0

4. 把抛物线y?x2?bx?c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是

y?x2?3x?5，则有（ ）

A. b?3，c?7 C. b?3，c?3

kx

B. b??9，c??15 D. b??9，c?21

O y 5. 已知反比例函数y?y?2kx 22的图象如右图所示，则二次函数

x ?x?k的图象大致为（ ） y y y y O x O x O x O x

A B C D

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6. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y?ax2?(a?c)x?c与一次函数

y?ax?c的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（

）

y y y y O x O x O x O x

A B C D

7. 抛物线y?x2?2x?3的对称轴是直线（ ）

A. x??2

B. x?2

C. x??1

D. x?1

8. 二次函数y?(x?1)2?2的最小值是（ ）

A. ?2

B. 2

C. ?1

y D. 1

9. 二次函数y?ax2?bx?c的图象如图所示，若

M?4a?2b?cN?a?b?c，P?4a?b，则

（ ）

A. M?0，N?0，P?0 B. M?0，N?0，P?0 C. M?0，N?0，P?0 D. M?0，N?0，P?0 二、填空题：

10. 将二次函数y?x2?2x?3配方成

y?(x?h)?k的形式，则y=______________________.

2-1 O 1 2 x 11. 已知抛物线y?ax2?bx?c与x轴有两个交点，那么一元二次方程ax2?bx?c?0的根的

情况是______________________.

12. 已知抛物线y?ax2?x?c与x轴交点的横坐标为?1，则a?c=_________. 13. 请你写出函数y?(x?1)2与y?x2?1具有的一个共同性质：_______________. 14. 有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点：

甲：对称轴是直线x?4；

乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：

15. 已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函

数的解析式：_____________________. 16. 如图，抛物线的对称轴是x?1，与x轴交于A、B两点，若B点坐标是(3,0)，则A点的

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坐标是________________.

y 1 A O 1 16题图 B x

三、解答题：

1. 已知函数y?x2?bx?1的图象经过点（3，2）.

（1）求这个函数的解析式；

（2）当x?0时，求使y≥2的x的取值范围.

2. 如右图，抛物线y??x2?5x?n经过点A(1,0)，与y轴交于点B.

（1）求抛物线的解析式；

（2）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标.

3. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初

上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下

y O A 1 -1 B x 面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）. （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的函数关系式； （2）求截止到几月累积利润可达到30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

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提高题

1. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，

水面CD的宽是10m.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥

280km（桥长忽略不计）. 货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，

忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）. 试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？

2. 某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套. 经过一段时间的经营发现：当每套机械设

备的月租金为270元时，恰好全部租出. 在此基础上，当每套设备的月租金提高10元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费、管理费等）20元，设每套设备的月租金为x（元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入－支出费用）为y（元）.

（1）用含x的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出设备（套）的支出费用； （2）求y与x之间的二次函数关系式；

（3）当月租金分别为4300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该

租出多少套机械设备？请你简要说明理由； （4）请把（2）中所求的二次函数配方成y?(x?b2a)2?4ac?b4a2的形式，并据此说明：

当x为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？

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