五年级奥数全套专题系列：几何（学生版） - 图文

精 品

圆与扇形综合

课前预习

圆与球：跨时代、跨文化的数学故事

这座完美的古代建筑，最基本的设计元素竟然是最简单的几何图形—圆

伫立在北京天坛祈年殿前，赞美之情油然而生。这座完美的古代建筑，最基本的设计元素竟然是最简单的几何图形—圆。三层汉白玉圆形台基、三层蓝琉璃圆顶大殿，与附近的圆形皇穹宇和圜丘交相辉映，好一片圆美世界！

圆和球还是最实用的图形。宏大如宇宙天体，微小至原子电子，飞转的车轮，滴嗒的钟表……人们的日常生活离不开圆和球，科技的进步也离不开圆和球。 简单中寓深奥。在圆与球简约的外形下，潜藏着无穷的数学奥秘。

圆周长和圆面积的计算，蕴涵着极限思想。中国古代数学家刘徽创立的“割圆术”，就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆。刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并计算逐次得到的正多边形的周长和面积(以及相应的圆周率近似值)。

古希腊数学家称用多边形逼近曲线图形的方法为“穷竭法”，早在公元前3世纪，阿基米德也是用这种方法去计算圆的周长、面积及圆周率的。不过阿基米德最引以自豪的，是他对球体积的计算。阿基米德考虑一个球和它的外切圆柱，以及一个辅助的圆锥，其基本做法是将这些立体分割成无数的薄片，并用力学平衡的方法比较它们的体积，最后求得球体积的正

精 品

确公式： (R是球半径)。阿基米德的方法可以看成是积分学的先声。无独有偶，在东方，中国南北朝时期的数学家祖冲之和他的儿子祖，也是利用球和它的外切圆柱计算出正确的球体积公式。不过与阿基米德不同，祖氏父子考虑的是同一个球的两个互相垂直的外切圆柱的公共部分(刘徽最先发现该种立体并命名为“牟合方盖”)，并运用欧洲学者迟至17世纪才重新发现的不可分量原理推算出这部分立体与其所含内切球的体积之比。祖氏父子的方法与阿基米德的可以说是异曲同工，殊途同归。

至于近代微积分的发明，圆和球也扮演了重要的角色。我们知道，在17世纪上半纪微积分酝酿时期，圆面积与圆周率π的计算，曾是那些寻找打开无穷小算法大门钥匙的数学大师们关注的热点。牛顿之前的先行者、英国数学家沃利斯在其代表作《无穷算术》中，用插值法计算1/4圆的面积，并进而导出了无穷乘积表达式

牛顿推广沃利斯的方法而得到了指数可以是分数和负数的二项定理，二项定理在建立微积分算法中的作用是众所周知的。在解析几何的发明人笛卡儿手中，圆是他作图求解方程的基本工具。笛卡儿在《几何学》一书中提出的求曲线切线的方法甚至以“圆法”著称，而牛顿正是从研究、改善笛卡儿“圆法”开始踏上制定微积分的漫漫征途。微积分的另一位发明人莱伯尼茨也计算过圆面积及圆周率，他给出了π的无穷级数表达式

饶有意味的是，与牛顿、莱布尼茨差不多同时代的日本“算圣”关孝和，开创了独具一格的“圆理”。他所谓的“圆理”，即指与圆有关的研究，以无穷级数为基础，计算各种曲线与曲面围成的图形之面积与体积，说明当时东方的数学家们也在竭力用圆这把钥匙叩击着微积分的大门。

古希腊“数学之神”阿基米德把球体积推算视为他一生最得意的成果，曾留下遗嘱把球及其外切圆柱的图形刻在他的墓碑上。阿基米德在第二次布匿战争期间被罗马士兵杀害，据传当罗马军士冲到阿基米德身边时，这位正在思考数学问题的老人喊出的最后一句话是：“别动我的圆！” 阿基米德死后，罗马军队的主帅马塞吕斯下令为阿基米德隆重建墓，并遵照阿基米德的遗愿，在他墓前竖了一块石碑，墓碑上刻着的正是那不朽的图形—球及其外切圆柱。记载着阿基米德球体积计算的羊皮书手稿，历经千年尘封后终于重见天日，被誉为20世纪最重大的考古发现而轰动一时。

至于圆周率π的计算，这方面的成就往往被用作衡量某一时代、某一地区文化水平的标征。前面已提到的祖冲之，亦以圆周率的计算而彪炳史册。据《隋书》记载，祖冲之算出圆周率的精确值在3.1415926与3.1415927之间，这在公元5世纪时创造了世界之最。为了纪念这位文化名人，人们把月球上的一座环形山命名为“祖冲之山”。1955年，中国还发行了

精 品

祖冲之纪念邮票。祖冲之并不是仅有的出现在邮票上并与圆周率有关的数学家。伊朗曾发行过纪念阿拉伯数学家阿尔·卡西的邮票，阿尔·卡西恰恰是祖冲之之后刷新圆周率计算记录的第一人，他在公元14世纪，给出了准确到13位小数的圆周率近似值。今天，电子计算机已经将数值计算到小数点后数万亿位。然而，电子计算机的发明、使用本身离不开圆的数学。 我们已经看到，圆与球，简单，美丽，奥妙，述说着一个跨时代、跨文化的数学故事。最后，让我们回到本文开始之处—北京天坛，去侧耳倾听沿着那圆形的回音壁回荡的永恒的“圆舞曲”吧。

知识框架

圆的知识：

1. 当一条线段绕着它的一个端点O在平面上旋转一周时，它的另一端点所画成的封闭曲线叫

做圆，点O叫做这个圆的圆心.

2. 连结一个圆的圆心和圆周上任一点的线段叫做圆的半径. 3. 连结圆上任意两点的线段叫做圆的弦.过圆心的弦叫做圆的直径. 4. 圆的周长与直径的比叫做圆周率.圆周上任意两点间的部分叫做弧. 5. 圆周长=直径×π.=半径×2π 圆面积=π×半径2.

扇形的知识：

1. 扇形是圆的一部分，它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形.顶点在圆心的

角叫做圆心角. 2. 我们经常说的

111圆、圆、圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇246形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是

n． 360n?rn?rn?r23. 扇形中的弧长= .扇形的周长= +2r.扇形的面积= =

180180360弓形的知识：

.

弦与它所对的弧所组成的图形叫做弓形。【一般来说，弓形面积?扇形面积-三角形面积．(除了半圆)】

常用方法：

精 品

1. 常用的思想方法：

①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)

④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)

2. 割补法：将不规则的组合图形经过分割（用连线分割）、切拼、拼合后，转化成一个规则的

几何图形，从而交易求得面积的方法，就是割补法求面积。

3. 包含与排除法：重叠想减就是应用了包含与排除的思想，用包含与排除求面积时，关键是考

虑重叠部分的面积如何正确处理，应该加上还是减去，要仔细思考，正确选择。

4. 旋转对称：将不规则图形或几个图形经过旋转、对称之后成为一个或几个规则图形进行面积

计算的方法。

5. 差不变原理：也称为放大法求面积，通常是求两个不规则图形的面积差，或是已知两个不规

则图形的面积差，从而求面积大小或线段长短，一般我们把这两个图形经过放大（即加上同一图形），使它们变成两个规则图形，再计算解答。

重难点

重点：1、圆与扇形的面积和周长计算公式。弓形的面积公式。

2、割补法求面积。能运用割补法求组合图形的面积。 3、利用容斥原理就是重叠相减法求面积。

4、旋转图形问题的重点研究是当一个图形绕一点进行旋转轨迹扫过的面积。

难点：1、在解决复杂圆与扇形的周长时，首先要分清围成这一图形的边有哪些，再正确计算。

2、在解决复杂圆与扇形的面积时，首先要根据图形组合的形式，用会求的图形的面积去求的题目所要求的图形面积。 3、多种方法在同一个题目中的分析及运用。

例题精讲

【例 1】

正方形的边长为10，求阴影部分得面积。（用π的式子表示）

精 品

【巩固】如图是一个边长为30的正方形，以各顶点为圆心，边长为半径，画圆弧，求阴影部分的面积。

【例 2】

如图，正方形边长为1，正方形的4个顶点和4条边分别为4个圆的圆心和半径，

精 品

求阴影部分面积．(π取3.14)

【巩固】图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果

每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？

【例 3】

如图所示，在半径为4厘米的图中有两条互相垂直的线段，阴影部分面积A与其

它部分面积B之差(大减小)是 多少？

精 品

A2B1BA

【巩固】一块圆形稀有金属板平分给甲、乙二人．但此金属板事先已被两条互相垂直的弦切

割成如图所示尺寸的四块．现甲取②、③两块，乙取①、④两块．如果这种金属板每平方厘米价值1000元，问：甲应偿付给乙多少元？

①2cm②5cm3cm③7.5cm④

【例 4】

如图，边长为3的两个正方形BDKE、正方形DCFK并排放置，以BC为边向内侧作

等边三角形，分别以B、C为圆心，BK、CK为半径画弧．求阴影部分面积．(π?3.14)

精 品

AEKFBDC

【巩固】已知半圆所在的圆的面积为62.8平方厘米，求阴影部分的面积．(π?3.14)

ADCOB

精 品

【例 5】

如图，两个半径为1的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求

图中两块阴影部分的面积之差．(π取3)

【巩固】在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差．(圆周率取3)

精 品

【例 6】

如图所示，阴影部分的面积为多少？(圆周率取3)

33

【巩固】图中阴影部分的面积是 ．(π取3)

精 品

【例 7】

下图中，AB=3，阴影部分的面积是多少？

精 品

ACEFBD

【巩固】如图，AB与CD是两条垂直的直径，圆O的半径为15，AEB是以C为圆心，AC为半

径的圆弧． 求阴影部分面积．

DEAOBC

【例 8】

(祖冲之杯竞赛试题)如图，ABCD是一个长为4，宽为3，对角线长为5的正方

形，它绕C点按顺时针方向旋转90度，分别求出四边扫过图形的面积．

精 品

ABDC

精 品

【巩固】如图，将长方形ABCD绕顶点C顺时针旋转90度，若AB=4，BC=3，AC=5，求AD边

扫过部分的面积．(?取3.14)

ADBC

【例 9】

(2004年第九届华杯赛初赛)半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环

的内侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？

精 品

【巩固】如图所示，大圆周长是小圆周长的n(n?1)倍，当小圆在大圆内侧(外侧)作无滑

动的滚动一圈后又回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周？

【例 10】

传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有10平方

米．每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影(如右图)．那么，阴影部分的面积是_________平方米．

精 品

121110987123456

【巩固】图中是一个钟表的圆面，图中阴影部分甲与阴影部分乙的面积之比是多少？

1110987甲121乙234O56

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/rt1t.html